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<!DOCTYPE html>

<title>Extremwerttheorie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Extremwerttheorie</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Extremwerttheorie</b> (englisch <b>extreme value theory</b>) ist ein Teilgebiet der <a href="Mathematische_Statistik" title="Mathematische Statistik">mathematischen Statistik</a>, das sich mit maximalen und minimalen Werten von <a href="Stichprobe" title="Stichprobe">Stichproben</a> beschäftigt.

</p><p>Ein zentrales Resultat ist die Tatsache, dass für das <a href="Extremwert" title="Extremwert">Maximum</a> (und das Minimum) einer Stichprobe (<i>egal welcher <a href="H%C3%A4ufigkeitsverteilung" title="Häufigkeitsverteilung">Verteilung</a></i>) nur drei Typen von Grenzverteilungen möglich sind, welche sich in einer so genannten <a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">verallgemeinerten Extremwertverteilung</a> zusammenfassen lassen. <a href="Max-stabile_Prozesse" title="Max-stabile Prozesse">Max-stabile Prozesse</a> erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

<p>Es seien <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac794f5521dcce89913085a6d566e7cdb615dbb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}" loading="lazy"></span> <a href="Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen</a> mit Werten in den <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{n}=\max _{1\leq i\leq n}X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{n}=\max _{1\leq i\leq n}X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9a4e22597aac857732337ed0df0c8320433d9c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.615ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle M_{n}=\max _{1\leq i\leq n}X_{i}}" loading="lazy"></span> ihr Maximum. Ferner bezeichne <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)=P(M_{n}\leq x)\;}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=P(M_{n}\leq x)\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c53615da098fd7ec6e961fed966fb21bc3f6eebe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.079ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)=P(M_{n}\leq x)\;}" loading="lazy"></span> die <a href="Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8656f32ad5c50e679b491b361a423727491496a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.473ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{n}}" loading="lazy"></span>, und sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span> eine nicht-ausgeartete Verteilungsfunktion – also keine Funktion, die nur die Werte Null oder Eins annehmen kann. Falls dann Folgen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n},b_{n}\;}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n},b_{n}\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03429958b7caf0c8015d0b40b570aecd7ce79575.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.343ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n},b_{n}\;}" loading="lazy"></span> existieren, so dass die Konvergenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(b_{n}+a_{n}x)\rightarrow G(x)\;}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(b_{n}+a_{n}x)\rightarrow G(x)\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a62a296b3cbd9dfae18af899c347a6365424495.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(b_{n}+a_{n}x)\rightarrow G(x)\;}" loading="lazy"></span> gilt, so kann <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span> nur eine der folgenden Verteilungen sein (<i>Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko</i>), je nachdem, ob die Ausläufer der Verteilung <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">exponentiell</a> abfallen, <a href="Polynom" title="Polynom">polynomiell</a> abfallen oder an einer Stelle den Wert Null erreichen:

</p>

<ul><li><a href="Gumbelverteilung" class="mw-redirect" title="Gumbelverteilung">Gumbel-Typ</a> (Typ I). Genauer: Wenn die Variable <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> eine <a href="Gumbel-Verteilung" title="Gumbel-Verteilung">Gumbel-Verteilung</a> hat, so hat <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log(X)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2eeb87489db3e8b7bd38227627f6a0cabd28a799.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.761ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log(X)}" loading="lazy"></span> eine Extremwertverteilung vom Typ I.</li>

<li><a href="Fr%C3%A9chet-Verteilung" title="Fréchet-Verteilung">Fréchet-Typ</a> (Typ II). Genauer: Wenn die Variable <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> eine <a href="Fr%C3%A9chet-Verteilung" title="Fréchet-Verteilung">Fréchet-Verteilung</a> hat, so hat <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/X}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1925752136039ac40664fd4607ba8f02e129163.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.305ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/X}" loading="lazy"></span> eine Extremwertverteilung vom Typ II.</li>

<li><a href="Weibull-Verteilung" title="Weibull-Verteilung">Weibull-Typ</a> (Typ III). Genauer: Wenn die Variable <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> eine <a href="Weibull-Verteilung" title="Weibull-Verteilung">Weibull-Verteilung</a> hat, so hat <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04b65f9a4b50bbd3fd4db90fb57f580b7e32b89e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.788ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -X}" loading="lazy"></span> eine Extremwertverteilung vom Typ III.</li></ul>

<p>Diese drei Verteilungen können auch zu einer einzigen Klasse (Jenkinson-von-Mises-Darstellung) parametrisiert werden. Die (oder eine) verallgemeinerte Verteilung heißt <a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">Extremwertverteilung</a>. Als Parameter werden oft <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K,\sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K,\sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/016066d9fb96a58e4967706ffbd00c2136e5209c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.43ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K,\sigma }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> verwendet, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K<0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a74db5b566fc060f451917756b2298d92948f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.327ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K<0}" loading="lazy"></span> eine Typ-III-Verteilung beschreibt und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f89502f5e80eaec4b6f5b1f822aebd0c50d0a303.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.327ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K>0}" loading="lazy"></span> eine Typ-II-Verteilung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<p>Sie findet unter anderem Anwendung in der <a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">Finanzmathematik</a> und <a href="Versicherungsmathematik" title="Versicherungsmathematik">Versicherungsmathematik</a>. Die Theorie wurde u. a. angewendet für die Untersuchung der Rekordentwicklung in der Leichtathletik<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und von Klimarekorden.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Typische Fragestellungen könnten unter anderem sein:

</p>

<ul><li>Wie hoch soll ein <a href="Staudamm" title="Staudamm">Staudamm</a> gebaut werden, wenn man sichergehen möchte, dass er in den nächsten 100 Jahren nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschwemmt wird?</li>

<li>Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines <a href="B%C3%B6rsencrash" class="mw-redirect" title="Börsencrash">Börsencrashs</a> im kommenden Jahr, der zu einem Kursverfall von mehr als 15 % führt?</li>

<li>Wie groß ist die Festigkeit des schwächsten Volumenelementes eines Bauteils? Vergleiche <a href="W%C3%B6hlerkurve" class="mw-redirect" title="Wöhlerkurve">Wöhlerkurve</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nicht-Normalverteilungen_mit_„Fat_tails“"><span id="Nicht-Normalverteilungen_mit_.E2.80.9EFat_tails.E2.80.9C"></span>Nicht-Normalverteilungen mit „Fat tails“</h3></div>

<p>Für solche sehr seltene Ereignisse, also z. B. sehr hohe wirtschaftliche Gewinne oder Verluste, sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie der extremen Ereignisse unter Umständen nicht mehr die gewohnten <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilungen</a> (oder Überlagerungen davon) charakteristisch, die sich wie <a href="Gau%C3%9Ffunktion" class="mw-redirect" title="Gaußfunktion">Gaußfunktionen</a> verhalten, also wie „Standard-Glockenkurven“ der Breite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span>, genauer: wie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx'/{\sqrt {2\pi \sigma }}\,\cdot e^{-{(x-x')^{2}}/(2\sigma )}}">

<msup>

</msup>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx'/{\sqrt {2\pi \sigma }}\,\cdot e^{-{(x-x')^{2}}/(2\sigma )}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2be736bac27c76f460d72c8495c6a8d248bf037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.478ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle dx'/{\sqrt {2\pi \sigma }}\,\cdot e^{-{(x-x')^{2}}/(2\sigma )}}" loading="lazy"></span>, die also im Randbereich rascher als exponentiell abfallen. Stattdessen dominieren Verteilungsfunktionen, die im Zentralbereich wie Gaußfunktionen aussehen, aber im Randbereich nur algebraisch klein werden, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sim dx'\cdot |x-x'|^{-\alpha }}">

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sim dx'\cdot |x-x'|^{-\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2fe80d698587ab9029ae576f919643e9e1dabf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.404ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sim dx'\cdot |x-x'|^{-\alpha }}" loading="lazy"></span>, mit einem charakteristischen „fat tail“-Exponenten, der in der physikalischen Literatur mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> bezeichnet wird und bestimmte „universelle“ Werte annehmen kann.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Paul Embrechts, <a href="Claudia_Kl%C3%BCppelberg" title="Claudia Klüppelberg">Claudia Klüppelberg</a>, Thomas Mikosch: <i>Modelling Extremal Events for Insurance and Finance.</i> Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8.</li>

<li><a href="Emil_Julius_Gumbel" title="Emil Julius Gumbel">Emil Julius Gumbel</a>: <i>Statistics of extremes.</i> Columbia University Press, New York 1958, ISBN 978-0-231-92958-5.</li>

<li><a href="Laurens_de_Haan" title="Laurens de Haan">Laurens de Haan</a>, Ana Ferreira: <i>Extreme Value Theory. An Introduction.</i> Springer, New York 2006, ISBN 978-1-4419-2020-1.</li>

<li>Rolf-Dieter Reiss, Michael Thomas: <i>Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology an Other Fields.</i> 3. Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-7230-9.</li>

<li>Sidney I. Resnick: <i>Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes.</i> Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-75952-4.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=187">Advanced Extremal Models for Operational Risk</a> (PDF; 112 kB)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=197">Wenn es um Kopf und Kragen geht: Extremwerttheorie</a> (PDF; 271 kB)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Daniel Gembris: <i>Entwicklung von Rekorden in der Leichtathletik.</i> In: <i>Spektrum der Wissenschaft.</i> Nr. 8, 2008, S. 14–16. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/alias/mathematik/entwicklung-von-rekorden-in-der-leichtathletik/962674">(spektrum.de)</a></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Gregor Wergen, Joachim Krug, Stefan Rahmstorf: <i>Klimarekorde.</i> In: <i>Spektrum der Wissenschaft.</i> Nr. 2, 2014, S. 80–87. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/alias/statistik/klimarekorde/1216444">(spektrum.de)</a></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Rosario N. Mantegna, <a href="Eugene_Stanley" title="Eugene Stanley">H. Eugene Stanley</a>: <i>An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance.</i> Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-62008-2. (<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160410141855/http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521620082">cambridge.org</a> (<span class="webarchiv-memento"><a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a></span> vom 10. April 2016 im <i><a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a></i>))</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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